CFD 논쟁 : FVM 이냐? FEM이냐?

유동해석 분야에서는 유동현상을 해석하기 위해 필요한 메쉬 작성과 관련하여 FVM(finite-volume method) 과 FEM(finite-element method) , 둘중 어느 것이 효율적인가에 대한 논쟁이 계속되고 있습니다. 이에 대한 Rita Schnipke(BRNI공동창업자)의 언급을 옮겨 봅니다.
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Figure 1 – “stair step” approximation for a curved surface

FVM 방식은 finite-difference method(FDM) 방식의 변형이다. 초기의 CFD 개발자들은 구조화된(벽돌 모양의)  메쉬 생성을 위해 FDM 방식을 사용했다.이 방식은 유동 영역의 볼륨의 중심점(vertex) 이나 마디(node)를 잘 연결짓는 적절한 격자 구조를 제공했다.

From FDM To FVM

FVM  방식은 FDM 방식에서 사용되던 수학적 표현 대신 노드(node)와 노드(node) 사이의 종속된 변화 유동(flux)을 고려 하였다. 유동체는 해석 영역내에서 흐르는 것이므로, 이러한 방식은 유동체의 물리현상을 자연스럽고 직관적으로 표현한다. 그러나 FVM 방식에서는 존속가능한 해답을 얻기 위해선 유동이 정확히 평형을 유지해야만 한다. FVM 방식은 해석의 목표를 노드에서의 해답 찾기에서 균형잡힌 유동의 해답찾기로 변환한다.

초기의 FVM 알고리즘은 유동을 개발자들이 쉽게 이해하고 CFD 컴퓨터 프로그램에 적용하기 쉽다는 이유로 벽돌모양의 해석 영역 표현에 의지했다.일부 FVM cfd code는 여전히 이러한 구조화된 격자 표현에 의지한다.

하지만 FVM 방식은 벽돌 모양 이외의 다른 형상을 표현하는데 문제가 있다. 유기체 또는 복잡한 형상에서는 해석대상체를 정확하게 표현하기가 힘들다.

Stair steps and computer resources

그림1은 곡면에 대한 벽돌모양의 격자 표현 방식을 보여주고 있다. 빨간색 원 주변으로 고전적인 계단 효과를 볼 수 있다. 당신이 생각 하듯이, 곡면 형태의 벽몀을 계단 형태로 표현하는데에는 고유이 부정확성이 존재한다.

벽돌모양의 격자 생성의 또다른 하나의 문제는 미세한 격자 생성에 필요한 컴퓨터 리소스의 용량에 대한 것이다. 그림2는 2차원 계단면 표현에 필요한 미세 격자 생성을 보여준다. 박형 주변의 미세한 격자는 경계면까지 확장 되어야만 함을 나타내고 있다. 삼차원 형상에서 벽돌모양의 격자는 삼차원 각 축 방향으로 동일한 수의 요소를 유지해야 하기 때문에 미세 격자는 급경사면 후면의 꽤 먼 곳까지 확장 되어야 한다.

Figure 2. Structured mesh on a two-dimensional cascade (http://www.iafr.eu/TESI/4.htm)

그럼, FVM 개발자들은 비구조화된 메쉬를 사용하면 어떨까?

일부는 그렇게 한다.하지만 FVM을 완전히 비구조화된 메쉬로 변경하는 것은 엄청난 노력이 필요하다. 설령 그렇게 하더라도, 비구조화된 메쉬의 특성에 의해서 수학적 불안정성이 많이 나타난다. 또한 각 노드에 종속된 유동의 진로를 추적하고 기록하기 위해서는 엄청난 컴퓨터 리소스가 필요로 한다.

The FEM for CFD

1980년대 초반에, CFD 개발자들은 finite-element method(FEM)에 관심을 갖기 시작했다. 구조해석 분야에서 FEM  방식을 채택한 초기의 개발자들은 대부분 성공을 거두었다. 사실, FEM 방식은 구조해석 분야에서 수십년간 표준으로 자리 잡고 있다.

그러나 FEM 방식을 CFD 영역까지 확장 적용하는 것은 쉽지가 않았다. 초기의 FEM 채택 개발자들은 FVM 방식에서 배운 교훈을  그대로 적용하기는 어렵다는 것을 알았다. 그때까지 FVM 방식의 알고리즘은 어려운 CFD 문제를 효율적으로 풀 수 있도록 잘 조율되어 있었으나 비효율적 메쉬 생성이란 결과를 낳았다. CFD 의 지배 방정식들은 연계되고(coupled) 비선형적(non-linear)이기 때문에 , 근사화(approximations) 가 꼭 필요하다. 초기의 FEM 채택 개발자들은 근사법에 익숙치 않았거나, 근사법이 너무 비수학적이라는 기초에 근거하고 있었다.

나(Rita Schnipke)는 1990년대 중반 전력산업계를 위한 FVM code 개발이라는 산학연구를 진행하던 버지니아 대학의 연구 그룹 초기 멤버였다.우리는 유동체의 속도와 압력에 대한 편미분 방정식(PEDs) 분할을 위해 가중 적분법 접근법(basic-weighted integral approach)을 사용 하기로 했다.우리는 이 접근법을 FVM의 전체 솔루션 알고리즘과 다른 수학적 근사화(풍상차분법과 같은)에 결합 하였다.

이러한 기술적 결합은 FVM 방식의 최고의 연산 효율을 위해 만들어졌지만, 실물세계의 까다로운 형상을 더 정확하고, 강건하고,효율적으로 모델링 할 수 있게 하였다. 이 솔루션은 FVM과 FEM 양쪽 방식이 결합된 것이지만, 기본 토대는 FEM 방식이다. 그래서 우리는 이것을 FEM-based CFD 라고 불렀다.

Best of both worlds, but mostly FEM

FEM-based CFD 는 터보기계,연소,고속외기류와 기타 다수의 어려운 CFD 문제에 대하여 성공적으로 증명 되었다. FEM-based CFD은 CFdesign 소프트웨어에 사용된 코드이 기초가 되었다.


CFD 사용자 관점에서 보면, FEM 방식의 접근엔 중요한 몇가지 장점들이 있다.
 -CFD 솔루션에 좀 더 쉽게 접근 할 수 있다.
 -복잡한 형상의 메쉬가  쉽고, 정확하다.
 -CAD와 다른 CAE 툴과의 연계가 쉽다.

FVM 방식의 주요 장점은 CFD 개발자들에게 이 방식이 일찍이 채택된 이유로 이 방식을 위해 발전된 진보한 물리학에 있다. 그러나  유동해석 분야에서 새롭고 발전된 FEM 방식의 빠른 진보에 의하여 그 장점이 퇴색되고 있다.

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**원문은  여기 를 참조 하세요..